Jika \( A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \) dan \( B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \) memenuhi \( (A+B)^2 = A^2 + AB + B^2 \), maka nilai \( k \) yang memenuhi adalah…
- -6
- -4
- 0
- 4
- 6
Pembahasan:
\begin{aligned} A = \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow A^2 &= \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} \\[8pt] B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \Leftrightarrow B^2 &= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\[8pt] A + B &= \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \\[8pt] AB &= \begin{pmatrix} k & 2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \end{aligned}
Karena berlaku persamaan \( (A+B)^2 = A^2 + AB + B^2 \), maka kita peroleh:
\begin{aligned} (A+B)^2 &= A^2 + AB + B^2 \\[8pt] \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix}^2 &= \begin{pmatrix} k^2+6 & 2k-2 \\ 3k-3 & 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} k+4 & 2k+8 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ 10 & 20 \end{pmatrix} \\[8pt] \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} k+1 & 4 \\ 5 & 3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k^2+k+15 & 4k+16 \\[8pt] 3k+8 & 29 \end{pmatrix} \\[8pt] \begin{pmatrix} k^2+2k+21 & 4k+16 \\[8pt] 5k+20 & 29 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} k^2+k+15 & 4k+16 \\[8pt] 3k+8 & 29 \end{pmatrix} \end{aligned}
Dari kesamaan matriks di atas, kita peroleh:
\begin{aligned} 5k + 20 &= 3k + 8 \\[8pt] 2k &= -12 \\[8pt] k &= -6 \end{aligned}
Jadi nilai \(k\) yang memenuhi adalah -6.
Jawaban A.